高阶函数

haskell中的函数可以作为参数和返回值传来传去,这样的函数就被称作高阶函数。高阶函数可不只是某简单特性而已,它贯穿于haskell的方方面面。要拒绝循环与状态的改变而通过定义问题"是什么"来解决问题,高阶函数必不可少。它们是编码的得力工具。

柯里函数

本质上,haskell的所有函数都只有一个参数,那么我们先前编那么多含有多个参数的函数又是怎么回事? 呵,小伎俩! 所有多个参数的函数都是柯里函数。 什么意思呢? 取一个例子最好理解,就拿我们的好朋友max函数说事吧。它看起来像是取两个参数,返回较大的那个数。 实际上,执行max 4 5时,它会首先返回一个取一个参数的函数,其返回值不是4就是该参数,取决于谁大。 然后,以5为参数调用它,并取得最终结果。 这听着挺绕口的,不过这一概念十分的酷! 如下的两个调用是等价的:

ghci> max 4 5
5
ghci> (max 4) 5
5

把空格放到两个东西之间,称作函数调用。它有点像个运算符,并拥有最高的优先级。 看看max函数的类型:max :: (Ord a) => a -> a -> a。 也可以写作:max :: (Ord a) => a -> (a -> a)。 可以读作max取一个参数a,并返回一个函数(就是那个->),这个函数取一个a类型的参数,返回一个a。 这便是为何只用箭头来分隔参数和返回值类型。

这样的好处又是如何? 简言之,我们若以不全的参数来调用某函数,就可以得到一个不全调用的函数。 如果你高兴,构造新函数就可以如此便捷,将其传给另一个函数也是同样方便。

看下这个函数,简单至极:

multThree :: (Num a) => a -> a -> a -> a
multThree x y z = x * y * z

我们若执行mulThree 3 5 9((mulThree 3) 5) 9,它背后是如何运作呢? 首先,按照空格分隔,把3交给mulThree。 这返回一个返回函数的函数。 然后把5交给它,返回一个取一个参数并使之乘以15的函数。 最后把9交给这一函数,返回135。 想想,这个函数的类型也可以写作multThree :: (Num a) => a -> (a -> (a -> a))->前面的东西就是函数取的参数,后面的东西就是其返回值。 所以说,我们的函数取一个a,并返回一个类型为(Num a) => a -> (a -> a)的函数,类似,这一函数返回一个取一个a,返回一个类型为(Num a) => a -> a的函数。 而最后的这个函数就只取一个a并返回一个a,如下:

ghci> let multTwoWithNine = multThree 9
ghci> multTwoWithNine 2 3
54
ghci> let multWithEighteen = multTwoWithNine 2
ghci> multWithEighteen 10
180

前面提到,以不全的参数调用函数可以方便地创造新的函数。例如,搞个取一数与100比较大小的函数该如何? 大可这样:

compareWithHundred :: (Num a,Ord a) => a -> Ordering
compareWithHundred x = compare 100 x

用99调用它,就可以得到一个GT。 简单。 注意下在等号两边都有x。 想想compare 100会返回什么?一个取一数与100比较的函数。 Wow,这不正是我们想要的? 这样重写:

compareWithHundred :: (Num a,Ord a) => a -> Ordering
compareWithHundred = compare 100

类型声明依然相同,因为compare 100返回函数。 compare的类型为(Ord a) => a -> (a -> Ordering),用100调用它后返回的函数类型为(Num a,Ord a) => a -> Ordering,同时由于100还是Num类型类的实例,所以还得另留一个类约束。

Yo! 你得保证已经弄明白了柯里函数与不全调用的原理,它们很重要!

中缀函数也可以不全调用,用括号把它和一边的参数括在一起就行了。 这返回一个取一参数并将其补到缺少的那一端的函数。 一个简单函数如下:

divideByTen :: (Floating a) => a -> a
divideByTen = (/10)

调用divideByTen 200就是(/10) 200,和200 / 10等价。

一个检查字符是否为大写的函数:

isUpperAlphanum :: Char -> Bool
isUpperAlphanum = (`elem` ['A'..'Z'])

唯一的例外就是-运算符,按照前面提到的定义,(-4)理应返回一个并将参数减4的函数,而实际上,处于计算上的方便,(-4)表示负4。 若你一定要弄个将参数减4的函数,就用subtract好了,像这样(subtract 4).

若不用let给它命名或传到另一函数中,在ghci中直接执行multThree 3 4会怎样?

ghci> multThree 3 4
:1:0:
No instance for (Show (t -> t))
arising from a use of `print' at :1:0-12
Possible fix: add an instance declaration for (Show (t -> t))
In the expression: print it
In a 'do' expression: print it

ghci说,这一表达式返回了一个a -> a类型的函数,但它不知道该如何显示它。 函数不是Show类型类的实例,所以我们不能得到表示一函数内容的字符串。 若在ghci中计算1+1,它会首先计算得2,然后调用show 2得到该数值的字符串表示,即"2",再输出到屏幕.

是时候了,来点高阶函数!

haskell中的函数可以取另一个函数做参数,也可以返回函数。 举个例子,我们弄个取一个函数并调用它两次的函数.

applyTwice :: (a -> a) -> a -> a  
applyTwice f x = f (f x)

首先注意这类型声明。 在此之前我们很少用到括号,因为(->)是自然的右结合,不过在这里括号是必须的。 它标明了首个参数是个参数与返回值类型都是a的函数,第二个参数与返回值的类型也都是a。 我们可以用柯里函数的思路来理解这一函数,不过免得自寻烦恼,我们姑且直接把它看作是取两个参数返回一个值,其首个参数是个类型为(a->a)的函数,第二个参数是个a。 该函数的类型可以是(Int->Int),也可以是(String->String),但第二个参数必须与之一致。

Note: 现在开始我们会直说某函数含有多个参数(除非它真的只有一个参数)。 以简洁之名,我们会说(a->a->a)取两个参数,尽管我们知道它在背后做的手脚.

这个函数是相当的简单,就拿参数f当函数,用x调用它得到的结果再去调用它。 也就可以这样玩:

ghci> applyTwice (+3) 10  
16  
ghci> applyTwice (++ " HAHA") "HEY"  
"HEY HAHA HAHA"  
ghci> applyTwice ("HAHA " ++) "HEY"  
"HAHA HAHA HEY"  
ghci> applyTwice (multThree 2 2) 9  
144  
ghci> applyTwice (3:) [1]  
[3,3,1]

看,不全调用多神奇! 如果有个函数要我们给它传个一元函数,大可以不全调用一个函数让它剩一个参数,再把它交出去。

接下来我们用高阶函数的编程思想来实现个标准库中的函数,它就是zipWith。 它取一个函数和两个List做参数,并把两个List交到一起(使相应的元素去调用该函数)。 如下就是我们的实现:

zipWith' :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]  
zipWith' _ [] _ = []  
zipWith' _ _ [] = []  
zipWith' f (x:xs) (y:ys) = f x y : zipWith' f xs ys

看下这个类型声明,它的首个参数是个函数,取两个参数处理交叉,其类型不必相同,不过相同也没关系。 第二三个参数都是List,返回值也是个List。 第一个List中元素的类型必须是a,因为这个处理交叉的函数的第一个参数是a。 第二个List中元素的类型必为b,因为这个处理交叉的函数第二个参数的类型是b。 返回的List中元素类型为c。 如果一个函数说取一个类型为a->b->c的函数做参数,传给它个a->a->c类型的也是可以的,但反过来就不行了。 可以记下,若在使用高阶函数的时候不清楚其类型为何,就先忽略掉它的类型声明,再到ghci下用:t命令来看下haskell的类型推导.

这函数的行为与普通的zip很相似,边界条件也是相同,只不过多了个参数,即处理元素交叉的函数。它关不着边界条件什么事儿,所以我们就只留一个_ 。后一个模式的函数体与zip也很像,只不过这里是f x y而非(x,y)。 只要足够通用,一个简单的高阶函数可以在不同的场合反复使用。 如下便是我们zipWith'函数本领的冰山一角:

ghci> zipWith' (+) [4,2,5,6] [2,6,2,3]  
[6,8,7,9]  
ghci> zipWith' max [6,3,2,1] [7,3,1,5]  
[7,3,2,5]  
ghci> zipWith' (++) ["foo ","bar ","baz "] ["fighters","hoppers","aldrin"]  
["foo fighters","bar hoppers","baz aldrin"]  
ghci> zipWith' (*) (replicate 5 2) [1..]  
[2,4,6,8,10]  
ghci> zipWith' (zipWith' (*)) [[1,2,3],[3,5,6],[2,3,4]] [[3,2,2],[3,4,5],[5,4,3]]  
[[3,4,6],[9,20,30],[10,12,12]]

如你所见,一个简单的高阶函数就可以玩出很多花样。 命令式语言使用for、while、赋值、状态检测来实现功能,再包起来留个接口,使之像个函数一样调用。而函数式语言使用高阶函数来抽象出常见的模式,像成对遍历并处理两个List或从中筛掉自己不需要的结果。

接下来实现标准库中的另一个函数flip,flip简单地取一个函数作参数并返回一个相似的函数,只是它们的两个参数倒了个。

flip' :: (a -> b -> c) -> (b -> a -> c)  
flip' f = g  
    where g x y = f y x

从这类型声明中可以看出,它取一个函数,其参数类型分别为a和b,而它返回的函数的参数类型为b和a。 由于函数默认都是柯里化的,->为右结合,这里的第二对括号其实并无必要,(a -> b -> c) -> (b -> a -> c)(a -> b -> c) -> (b -> (a -> c))等价,也与(a -> b -> c) -> b -> a -> c等价。 前面我们写了g x y = f y x,既然这样可行,那么f y x = g x y不也一样? 这一来我们可以改成更简单的写法:

flip' :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c  
flip' f y x = f x y

在这里我们就利用了柯里函数的优势,只要调用flip' f而不带yx,它就会返回一个俩参数倒个的函数。flip处理的函数往往都是用来传给其他函数调用,于是我们可以发挥柯里函数的优势,预先想好发生完全调用的情景并处理好返回值.

ghci> flip' zip [1,2,3,4,5] "hello"  
[('h',1),('e',2),('l',3),('l',4),('o',5)]  
ghci> zipWith (flip' div) [2,2..] [10,8,6,4,2]  
[5,4,3,2,1]

map 与 filter

map取一个函数和List做参数,遍历该List的每个元素来调用该函数产生一个新的List。 看下它的类型声明和实现:

map :: (a -> b) -> [a] -> [b]  
map _ [] = []  
map f (x:xs) = f x : map f xs

从这类型声明中可以看出,它取一个取a返回b的函数和一组a的List,并返回一组b。 这就是haskell的有趣之处:有时只看类型声明就能对函数的行为猜个大致。map函数多才多艺,有一百万种用法。 如下是其中一小部分:

ghci> map (+3) [1,5,3,1,6]  
[4,8,6,4,9]  
ghci> map (++ "!") ["BIFF","BANG","POW"]  
["BIFF!","BANG!","POW!"]  
ghci> map (replicate 3) [3..6]  
[[3,3,3],[4,4,4],[5,5,5],[6,6,6]]  
ghci> map (map (^2)) [[1,2],[3,4,5,6],[7,8]]  
[[1,4],[9,16,25,36],[49,64]]  
ghci> map fst [(1,2),(3,5),(6,3),(2,6),(2,5)]  
[1,3,6,2,2]

你可能会发现,以上的所有代码都可以用List Comprehension来替代。map (+3) [1,5,3,1,6][x+3 | x <- [1,5,3,1,6]完全等价。

filter函数取一个限制条件和一个List,返回该List中所有符合该条件的元素。 它的类型声明及实现大致如下:

filter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]  
filter _ [] = []  
filter p (x:xs)   
    | p x       = x : filter p xs  
    | otherwise = filter p xs

很简单。 只要p x所得的结果为真,就将这一元素加入新List,否则就无视之。几个使用范例:

ghci> filter (>3) [1,5,3,2,1,6,4,3,2,1]  
[5,6,4]  
ghci> filter (==3) [1,2,3,4,5]  
[3]  
ghci> filter even [1..10]  
[2,4,6,8,10]  
ghci> let notNull x = not (null x) in filter notNull [[1,2,3],[],[3,4,5],[2,2],[],[],[]]  
[[1,2,3],[3,4,5],[2,2]]  
ghci> filter (`elem` ['a'..'z']) "u LaUgH aT mE BeCaUsE I aM diFfeRent"  
"uagameasadifeent"  
ghci> filter (`elem` ['A'..'Z']) "i lauGh At You BecAuse u r aLL the Same"  
"GAYBALLS"

同样,以上都可以用List Comprehension的限制条件来实现。 并没有教条规定你必须在什么情况下用mapfilter还是List Comprehension,选择权归你,看谁舒服用谁就是。 如果有多个限制条件,只能连着套好几个filter或用&&等逻辑函数的组合之,这时就不如list comprehension来得爽了。

还记得上一章的那个quicksort函数么? 我们用到了List Comprehension来过滤大于或小于锚的元素。 换做filter也可以实现,而且更加易读:

quicksort :: (Ord a) => [a] -> [a]    
quicksort [] = []    
quicksort (x:xs) =     
    let smallerSorted = quicksort (filter (<x) xs)
        biggerSorted = quicksort (filter (>x) xs)   
    in  smallerSorted ++ [x] ++ biggerSorted

map和filter是每个函数式程序员的面包黄油(呃,map和filter还是List Comprehension并不重要)。 想想前面我们如何解决给定周长寻找合适直角三角形的问题的? 在命令式编程中,我们可以套上三个循环逐个测试当前的组合是否满足条件,若满足,就打印到屏幕或其他类似的输出。 而在函数式编程中,这行就都交给map和filter。 你弄个取一参数的函数,把它交给map过一遍List,再filter之找到合适的结果。 感谢haskell的惰性,即便是你多次map一个list也只会遍历一遍该list,要找出小于100000的数中最大的3829的倍数,只需过滤结果所在的list就行了.

要找出小于100000的3829的所有倍数,我们应当过滤一个已知结果所在的list.

largestDivisible :: (Integral a) => a  
largestDivisible = head (filter p [100000,99999..])  
    where p x = x `mod` 3829 == 0

首先, 取一个降序的小于100000所有数的List,然后按照限制条件过滤它。 由于这个List是降序的,所以结果List中的首个元素就是最大的那个数。 惰性再次行动! 由于我们只取这结果List的首个元素,所以它并不关心这List是有限还是无限的,在找到首个合适的结果处运算就停止了。

接下来,我们就要找出所有小于10000的奇数的平方和,得先提下takeWhile函数,它取一个限制条件和List作参数,然后从头开始遍历这一List,并返回符合限制条件的元素。 而一旦遇到不符合条件的元素,它就停止了。 如果我们要取出字符串"elephants know how to party"中的首个单词,可以takeWhile (/=' ') "elephants know how to party",返回"elephants"。 okay,要求所有小于10000的奇数的平方的和,首先就用(^2)函数map掉这个无限的List[1..]。然后过滤之,只取奇数就是了。 在大于10000处将它断开,最后前面的所有元素加到一起。 这一切连写函数都不用,在ghci下直接搞定.

ghci> sum (takeWhile (<10000) (filter odd (map (^2) [1..])))  
166650

不错! 先从几个初始数据(表示所有自然数的无限list),再map它,filter它,切它,直到它符合我们的要求,再将其加起来。 这用list comprehension也是可以的,而哪种方式就全看你的个人口味.

ghci> sum (takeWhile (<10000) [m | m <- [n^2 | n <- [1..]], odd m])  
166650

感谢haskell的惰性特质,这一切才得以实现。 我们之所以可以map或filter一个无限list,是因为它的操作不会被立即执行,而是拖延一下。 只有我们要求haskell交给我们sum的结果的时候,sum函数才会跟takeWhile说,它要这些数。takeWhile就再去要求filter和map行动起来,并在遇到大于等于10000时候停止.

下个问题与Collatz序列有关,取一个自然数,若为偶数就除以2。 若为奇数就乘以3再加1。 再用相同的方式处理所得的结果,得到一组数字构成的的链。 它有个性质,无论任何以任何数字开始,最终的结果都会归1。 所以若拿13当作起始数,就可以得到这样一个序列13,40,20,10,5,16,8,4,2,1。13*3+1得40,40除2得20,如是继续,得到一个10个元素的链。

好的,我们想知道的是: 以1到100之间的所有数作为起始数,会有多少个链的长度大于15?

chain :: (Integral a) => a -> [a]  
chain 1 = [1]  
chain n  
    | even n =  n:chain (n `div` 2)  
    | odd n  =  n:chain (n*3 + 1)

该链止于1,这便是边界条件。 标准的递归函数:

ghci> chain 10  
[10,5,16,8,4,2,1]  
ghci> chain 1  
[1]  
ghci> chain 30  
[30,15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

yay! 貌似工作良好。 现在由这个函数来告诉我们结果:

numLongChains :: Int  
numLongChains = length (filter isLong (map chain [1..100]))  
    where isLong xs = length xs > 15

我们把chain函数map到[1..100],得到一组链的list,然后用个限制条件过滤长度大于15的链。 过滤完毕后就可以得出结果list中的元素个数.

Note: 这函数的类型为numLongChains :: Int。 这是由于历史原因,length返回一个Int而非Num的成员类型,若要得到一个更通用的Num a,我们可以使用fromInterval函数来处理所得结果.

用map,我们可以写出类似map (*) [0..]之类的代码。 如果只是为了例证柯里函数和不全调用的函数是真正的值及其原理,那就是你可以把函数传递或把函数装在list中(只是你还不能将它们转换为字符串)。 迄今为止,我们还只是map单参数的函数到list,如map (*2) [0..]可得一组类型为(Num a) => [a]的list,而map (*) [0..]也是完全没问题的。*的类型为(Num a) -> a -> a -> a,用单个参数调用二元函数会返回一个一元函数。 如果用*来map 一个[0..]的list,就会得到一组一元函数组成的list,即(Num a) => [a->a]map (*) [0..]所得的结果写起来大约就是[(*0),(*1),(*2)..]

ghci> let listOfFuns = map (*) [0..]  
ghci> (listOfFuns !! 4) 5  
20

取所得list的第四个元素可得一函数,与(*4)等价。 然后用5调用它,与(* 4) 54*5都是等价的.

lambda

lambda就是匿名函数。有些时候我们需要传给高阶函数一个函数,而这函数我们只会用这一次,这就弄个特定功能的lambda。编写lambda,就写个\(因为它看起来像是希腊字母的lambda--如果你斜视的厉害),后面是用空格分隔的参数,->后面就是函数体。通常我们都是用括号将其括起,要不然它就会占据整个右边部分。

向上5英寸左右,你会看到我们在numLongChain函数中用where语句声明了个isLong函数传递给了filter。好的,用lambda代替它。

numLongChains :: Int  
numLongChains = length (filter (\xs -> length xs > 15) (map chain [1..100]))

lambda是个表达式,因此我们可以任意传递。表达式(\xs -> length xs > 15)返回一个函数,它可以告诉我们一个list的长度是否大于15。

不熟悉柯里函数与不全调用的人们往往会写出很多lambda,而实际上大部分都是没必要的。例如,表达式map (+3) [1,6,3,2]map (\x -> x+3) [1,6,3,2]等价,(+3)(\x -> x+3)都是给一个数加上3。不用说,在这种情况下不用lambda要清爽的多。

和普通函数一样,lambda也可以取多个参数。

ghci> zipWith (\a b -> (a * 30 + 3) / b) [5,4,3,2,1] [1,2,3,4,5]  
[153.0,61.5,31.0,15.75,6.6]

同普通函数一样,你也可以在lambda中使用模式匹配,只是你无法为一个参数设置多个模式,如[](x:xs)。lambda的模式匹配若失败,就会引发一个运行时错误,所以慎用!

ghci> map (\(a,b) -> a + b) [(1,2),(3,5),(6,3),(2,6),(2,5)]  
[3,8,9,8,7]

一般情况下,lambda都是括在括号中,除非我们想要后面的整个语句都作为lambda的函数体。很有趣,由于有柯里化,如下的两段是等价的:

addThree :: (Num a) => a -> a -> a -> a  
addThree x y z = x + y + z
addThree :: (Num a) => a -> a -> a -> a  
addThree = \x -> \y -> \z -> x + y + z

这样的函数声明与函数体中都有->,这一来类型声明的写法就很明白了。当然第一段代码更易读,不过第二个函数使得柯里化更容易理解。

有些时候用这种语句写还是挺酷的,我觉得这应该是最易读的flip函数实现了:

flip' :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c  
flip' f = \x y -> f y x

尽管这与flip' f x y = f y x等价,但它可以更明白地表示出它会产生一个新的函数。flip常用来处理一个函数,再将返回的新函数传递给map或filter。所以如此使用lambda可以更明确地表现出返回值是个函数,可以用来传递给其他函数作参数。

折叠纸鹤

回到当初我们学习递归的情景。我们会发现处理list的许多函数都有固定的模式,通常我们会将边界条件设置为空list,再引入(x:xs)模式,对单个元素和余下的list做些事情。这一模式是如此常见,因此haskell引入了一组函数来使之简化,也就是fold。它们与map有点像,只是它们返回的是单个值。

一个fold取一个二元函数,一个初始值(我喜欢管它叫累加值)和一个需要fold(折叠)的list。这个二元函数有两个参数,即累加值和list的首项(或尾项),返回值是新的累加值。然后,以新的累加值和新的list首项调用该函数,如是继续。到list遍历完毕时,只剩下一个累加值,也就是最终的结果。

首先看下foldl函数,也叫做左折叠。它从list的左端开始折叠,用初始值和list的头部调用这二元函数,得一新的累加值,并用新的累加值与list的下一个元素调用二元函数。如是继续。

我们再实现下sum,这次用fold替代那复杂的递归:

sum' :: (Num a) => [a] -> a  
sum' xs = foldl (\acc x -> acc + x) 0 xs

测试下,一二三~

ghci> sum' [3,5,2,1]  
11

我们深入看下fold的执行过程:\acc x-> acc + x是个二元函数,0是初始值,xs是待折叠的list。一开始,累加值为0,当前项为3,调用二元函数0+33,作新的累加值。接着来,累加值为3,当前项为5,得新累加值8。再往后,累加值为8,当前项为2,得新累加值10。最后累加值为10,当前项为1,得11。恭喜,你完成了一次折叠(fold)!

左边的这个图表示了折叠的执行过程,一步又一步(一天又一天!)。浅棕色的数字都是累加值,你可以从中看出list是如何从左端一点点加到累加值上的。唔对对对!如果我们考虑到函数的柯里化,可以写出更简单的实现:

sum' :: (Num a) => [a] -> a  
sum' = foldl (+) 0

这个lambda函数(\acc x -> acc + x )与(+)等价。我们可以把xs等一应参数省略掉,反正调用foldl (+) 0会返回一个取list作参数的函数。通常,如果你的函数类似foo a = bar b a, 大可改为foo = bar b。有柯里化嘛。

呼呼,进入右折叠前我们再实现个用到左折叠的函数。大家肯定都知道elem是检查某元素是否属于某list的函数吧,我就不再提了(唔,刚提了)。用左折叠实现它:

elem' :: (Eq a) => a -> [a] -> Bool  
elem' y ys = foldl (\acc x -> if x == y then True else acc) False ys

好好好,这里我们有什么?起始值与累加值都是布尔值。在处理fold时,累加值与最终结果的类型总是相同的。如果你不知道怎样对待起始值,那我告诉你,我们先假设它不存在,以False开始。我们要是fold一个空list,结果就是False。然后我们检查当前元素是否为我们寻找的,如果是,就令累加值为True,如果否,就保留原值不变。若False,及表明当前元素不是。若True,就表明已经找到了。

右折叠foldr的行为与左折叠相似,只是累加值是从list的右边开始。同样,左折叠的二元函数取累加值作首个参数,当前值为第二个参数(即\acc x -> ...),而右折叠的二元函数参数的顺序正好相反(即\x acc -> ...)。这倒也正常,毕竟是从右端开始折叠。

累加值可以是任何类型,可以是数值,布尔值,甚至一个新的list。我们可以用右fold实现map函数,累加值就是个list。将map处理过的元素一个一个连到一起。很容易想到,起始值就是空list。

map' :: (a -> b) -> [a] -> [b]  
map' f xs = foldr (\x acc -> f x : acc) [] xs

如果我们用(+3)来映射[1,2,3],它就会先到达list的右端,我们取最后那个元素,也就是3来调用(+3),得6。追加(:)到累加值上,6:[][6]并成为新的累加值。用2调用(+3),得5,追加到累加值,于是累加值成了[5,6]。再对1调用(+3),并将结果4追加到累加值,最终得结果[4,5,6]

当然,我们也完全可以用左折叠来实现它,map' f xs = foldl (\acc x -> acc ++ [f x]) [] xs就行了。不过问题是,使用(++)往list后面追加元素的效率要比使用(:)低得多。所以在生成新list的时候人们一般都是使用右折叠。

反转一个list,既也可以通过右折叠,也可以通过左折叠。有时甚至不需要管它们的分别,如sum函数的左右折叠实现都是十分相似。不过有个大的不同,那就是右折叠可以处理无限长度的数据结构,而左折叠不可以。将无限list从中断开执行左折叠是可以的,不过若是向右,就永远到不了头了。

所有遍历list中元素并据此返回一个值的操作都可以交给fold实现。无论何时需要遍历list并返回某值,都可以尝试下fold。因此,fold的地位可以说与map和filter并驾齐驱,同为函数式编程中最常用的函数之一。

foldl1foldr1的行为与foldlfoldr相似,只是你无需明确提供初始值。他们假定list的首个(或末尾)元素作为起始值,并从旁边的元素开始折叠。这一来,sum函数大可这样实现:sum = foldl1 (+)。这里待折叠的list中至少要有一个元素,若使用空list就会产生一个运行时错误。不过foldl和foldr与空list相处的就很好。所以在使用fold前,应该先想下它会不会遇到空list,如果不会遇到,大可放心使用foldr1foldl1

为了体会fold的威力,我们就用它实现几个库函数:

maximum' :: (Ord a) => [a] -> a  
maximum' = foldr1 (\x acc -> if x > acc then x else acc)  

reverse' :: [a] -> [a]  
reverse' = foldl (\acc x -> x : acc) []  

product' :: (Num a) => [a] -> a  
product' = foldr1 (*)  

filter' :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]  
filter' p = foldr (\x acc -> if p x then x : acc else acc) []  

head' :: [a] -> a  
head' = foldr1 (\x _ -> x)  

last' :: [a] -> a  
last' = foldl1 (\_ x -> x)

仅靠模式匹配就可以实现head函数和last函数,而且效率也很高。这里只是为了演示,用fold的实现方法。我觉得我们这个reverse'定义的相当聪明,用一个空list做初始值,并向左展开list,从左追加到累加值,最后得到一个反转的新list。\acc x -> x : acc有点像:函数,只是参数顺序相反。所以我们可以改成foldl (flip (:)) []

有个理解折叠的思路:假设我们有个二元函数f,起始值z,如果从右折叠[3,4,5,6],实际上执行的就是f 3 (f 4 (f 5 (f 6 z)))。f会被list的尾项和累加值调用,所得的结果会作为新的累加值传入下一个调用。假设f是(+),起始值z是0,那么就是3 + (4 + (5 + (6 + 0))),或等价的前缀形式:(+) 3 ((+) 4 ((+) 5 ((+) 6 0)))。相似,左折叠一个list,以g为二元函数,z为累加值,它就与g (g (g (g z 3) 4) 5) 6等价。如果用flip (:)作二元函数,[]为累加值(看得出,我们是要反转一个list),这就与flip (:) (flip (:) (flip (:) (flip (:) [] 3) 4) 5) 6等价。显而易见,执行该表达式的结果为[6,5,4,3]

scanlscanrfoldlfoldr相似,只是它们会记录下累加值的所有状态到一个list。也有scanl1scanr1

ghci> scanl (+) 0 [3,5,2,1]  
[0,3,8,10,11]  
ghci> scanr (+) 0 [3,5,2,1]  
[11,8,3,1,0]  
ghci> scanl1 (\acc x -> if x > acc then x else acc) [3,4,5,3,7,9,2,1]  
[3,4,5,5,7,9,9,9]  
ghci> scanl (flip (:)) [] [3,2,1]  
[[],[3],[2,3],[1,2,3]]

当使用scanl时,最终结果就是list的最后一个元素。而在scanr中则是第一个。

sqrtSums :: Int  
sqrtSums = length (takeWhile (<1000) (scanl1 (+) (map sqrt [1..]))) + 1
ghci> sqrtSums  
131  
ghci> sum (map sqrt [1..131])  
1005.0942035344083  
ghci> sum (map sqrt [1..130])  
993.6486803921487

scan可以用来跟踪fold函数的执行过程。想想这个问题,取所有自然数的平方根的和,寻找在何处超过1000?先map sqrt [1..],然后用个fold来求它们的和。但在这里我们想知道求和的过程,所以使用scanscan完毕时就可以得到小于1000的所有和。所得结果list的第一个元素为1,第二个就是1+根2,第三个就是1+根2+根3。若有x个和小于1000,那结果就是x+1。

有$的函数调用

好的,接下来看看$函数。它也叫作函数调用符。先看下它的定义:

($) :: (a -> b) -> a -> b  
f $ x = f x

什么鬼东西?这没啥意义的操作符?它只是个函数调用符罢了?好吧,不全是,但差不多。普通的函数调用符有最高的优先级,而$的优先级则最低。用空格的函数调用符是左结合的,如f a b c与((f a) b) c等价,而$则是右结合的。

听着不错。但有什么用?它可以减少我们代码中括号的数目。试想有这个表达式:sum (map sqrt [1..130])。由于低优先级的$,我们可以将其改为sum $ map sqrt [1..130],可以省敲不少键!sqrt 3 + 4 + 9会怎样?这会得到9,4和根3的和。若要取(3+4+9)的平方根,就得sqrt (3+4+9)或用$sqrt $ 3+4+9。因为$有最低的优先级,所以你可以把$看作是在右面写一对括号的等价形式。

sum (filter (> 10) (map (*2) [2..10]))该如何?嗯,$是右结合,f (g (z x))f $ g $ z x等价。所以我么可以将sum (filter (> 10) (map (*2) [2..10])重写为sum $ filter (> 10) $ map (*2) [2..10]

除了减少括号外,$还可以将数据作为函数使用。例如映射一个函数调用符到一组函数组成的list:

ghci> map ($ 3) [(4+),(10*),(^2),sqrt]  
[7.0,30.0,9.0,1.7320508075688772]

函数组合

在数学中,函数组合是这样定义的:,表示组合两个函数成为一个函数。以x调用这一函数,就与用x调用g再用所得的结果调用f等价。

haskell中的函数组合与之很像,即.函数。其定义为:

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c  
f . g = \x -> f (g x)

注意下这类型声明,f的参数类型必须与g的返回类型相同。所以得到的组合函数的参数类型与g相同,返回类型与f相同。表达式negate . (*3)返回一个求一数字乘以3后的负数的函数。

函数组合的用处之一就是生成新函数,并传递给其它函数。当然我们可以用lambda实现,但大多数情况下,使用函数组合无疑更直白。假设我们有一组由数字组成的list,要将其全部转为负数,很容易就想到应先取其绝对值,再取负数,像这样:

ghci> map (\x -> negate (abs x)) [5,-3,-6,7,-3,2,-19,24]  
[-5,-3,-6,-7,-3,-2,-19,-24]

注意下这个lambda与那函数组合是多么的相像。用函数组合,我们可以将代码改为:

ghci> map (negate . abs) [5,-3,-6,7,-3,2,-19,24]  
[-5,-3,-6,-7,-3,-2,-19,-24]

漂亮!函数组合是右结合的,我们同时组合多个函数。表达式f (g (z x))(f . g . z) x等价。按照这个思路,我们可以将

ghci> map (\xs -> negate (sum (tail xs))) [[1..5],[3..6],[1..7]]  
[-14,-15,-27]

改为:

ghci> map (negate . sum . tail) [[1..5],[3..6],[1..7]]  
[-14,-15,-27]

不过含多个参数的函数该怎么办?好,我们可以使用不全调用使每个函数都只剩下一个参数。sum (replicate 5 (max 6.7 8.9))可以重写为(sum . replicate 5 . max 6.7) 8.9sum . replicate 5 . max 6.7 $ 8.9。在这里会产生一个函数,它取与max 6.7同样的参数,并使用结果调用replicate 5再用sum求和。最后用8.9调用该函数。不过一般你可以这么读,用8.9调用max 6.7,然后使它replicate 5,再sum之。如果你打算用函数组合来替掉那堆括号,可以先在最靠近参数的函数后面加一个$,接着就用.组合其所有函数调用,而不用管最后那个参数。如果有这样一段代码:replicate 100 (product (map (*3) (zipWith max [1,2,3,4,5] [4,5,6,7,8]))),可以改为:replicate 100 . product . map (*3) . zipWith max [1,2,3,4,5] $ [4,5,6,7,8]。如果表达式以3个括号结尾,就表示你可以将其修改为函数组合的形式。

函数组合的另一用途就是定义point free style(也称作pointless style)的函数。就拿我们之前写的函数作例子:

sum' :: (Num a) => [a] -> a     
sum' xs = foldl (+) 0 xs

等号的两端都有个xs。由于有柯里化(Currying),我们可以省掉两端的xs。foldl (+) 0返回的就是一个取一list作参数的函数,我们把它修改为sum' = foldl (+) 0,这就是point free style。下面这个函数又该如何改成point free style呢?

fn x = ceiling (negate (tan (cos (max 50 x))))

像刚才那样简单去掉两端的x是不行的,函数体中x的右边还有括号。cos (max 50)是有错误的,你不能求一个函数的余弦。我们的解决方法就是,使用函数组合。

fn = ceiling . negate . tan . cos . max 50

漂亮!point free style会令你去思考函数的组合方式,而非数据的传递方式,更加简洁直白。你可以将一组简单的函数组合在一起,使之形成一个复杂的函数。不过函数若过于复杂,再使用point free style往往会适得其反,因此构造较长的函数组合链是不被鼓励的(虽然我本人热衷于函数组合)。更好的解决方法,就是使用let语句给中间的运算结果绑定一个名字,或者说把问题分解成几个小问题再组合到一起。这样一来我们代码的读者就可以轻松些,不必要纠结那巨长的函数组合链了。

在map和filter那节中,我们求了小于10000的所有奇数的平方的和。如下就是将其置于一个函数中的样子:

oddSquareSum :: Integer  
oddSquareSum = sum (takeWhile (<10000) (filter odd (map (^2) [1..])))

身为函数组合狂人,我可能会这么写:

oddSquareSum :: Integer  
oddSquareSum = sum . takeWhile (<10000) . filter odd . map (^2) $ [1..]

不过若是给别人看,我可能就这么写了:

oddSquareSum :: Integer  
oddSquareSum =   
    let oddSquares = filter odd $ map (^2) [1..]  
        belowLimit = takeWhile (<10000) oddSquares  
    in  sum belowLimit

这段代码可赢不了代码花样大赛,不过我们的读者可能会觉得它比函数组合链更好看。